接下来我会用，最直白，最直接，最不绕弯子、最真相、最不绕弯、最扎心、最硬核、最干脆、最不墨迹、最戳痛点、最不留情面、最一针见血、最开门见山、最单刀直入、最不铺垫、最不客套、最不煽情、最不废话、最不拐弯、最不磨叽、最不装、最不端着、最不啰嗦、最不拖沓、最不委婉、最不掩饰、最不藏着掖着、最直白、最露骨、最实在、最通透的话看一下——
<p align="right"><u>【秩】到底是什么</u>？</p>
# 定义
一般书上有两种定义方法：
>[!definition] 1.行列式定义矩阵的秩
>设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵。若 $A$ 至少有一个 $r$ 阶非零子式，而其所有 $r+1$ 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为 $r$，则称 $r$ 为 $A$ 的秩。
>[!note] 2.用向量组的秩定义矩阵的秩
>
>对于 $m$ 维线性空间 $V$ 中的一个向量组 $F=\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s\}$，
>- 若 $F \supseteq S=\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r\}$ 中的 $r$ 个向量线性无关，且
>- 若 $r<s$，$\forall \alpha_{r+1} \in F \setminus S$，$S \cup \{\alpha_{r+1}\}$ 中 $r+1$ 个向量都线性相关
>
>则称 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r\}$ 为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s\}$ 的极大线性无关组，$r$ 为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s\}$ 的秩。
矩阵 $A$ 的**列秩**定义为 $A$ 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵 $A$ 的**行秩**定义为 $A$ 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。而且$$行秩 = 列秩 = 矩阵的秩$$
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# 线性空间的映射
**研究矩阵本质上就是研究线性空间：**
定义常见的$n$维实空间$\mathbb{R}^n$，很显然由$n$维向量$\boldsymbol{x}=\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\} \in \mathbb{R}^n$
- $A$ 矩阵可以看作线性变换：
- $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
- $\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$
- $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\quad\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n$
这样的话:
矩阵 $A$ 看成映射 $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\ \boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$ 之后，关于它只有两个最根本的问题：
- **它能打到哪里去？** —— 所有可能的输出 $\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}$ 构成的集合，就是**像（值域）** $\operatorname{Im}A$
- **它把谁压成了零？** —— 所有被打成 $\boldsymbol{0}$ 的输入构成的集合，就是**核（零空间）** $\ker A$
一个管"出口"，一个管"塌缩"。秩的一切，都从这两样长出来。
>[!definition] 像 / 值域 Image
>$$\operatorname{Im}A=\{A\boldsymbol{x}:\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\}\subseteq\mathbb{R}^n.$$
>它是 $A$ 把整个 $\mathbb{R}^n$ 推过去后真正落到的那块地方，是 $\mathbb{R}^n$ 的一个<u>子空间</u>
>[!definition] 核 / 零空间 Kernel
>$$\ker A=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n:A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}\subseteq\mathbb{R}^n.$$
>它是被 $A$ 碾成原点的所有向量，也是 $\mathbb{R}^n$ 的一个<u>子空间</u>
比如：$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}$：
- **先看像 $\operatorname{Im}A$** 三个列向量$$\boldsymbol{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{a}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{a}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2.$$
- 第三列是前两列的和，是“废话”
- 所以 $\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\}$，是以他俩为基底的平面
- 平面法向量 $\boldsymbol{a}_1\times\boldsymbol{a}_2=(-1,-1,1)$，平面方程就是 $z=x+y$
- **再看核 $\ker A$**
- 解 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，即 $(x_1+x_3)\boldsymbol{a}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{0}$，得 $x_1=x_2=-x_3$
- 所以 $\ker A=\operatorname{span}\left\{(1,1,-1)^T\right\},\qquad \dim\ker A=1.$
- 刚好就是齐次方程的<u>解空间</u>
- 所以有些书讲线性方程组也讲<u> 零空间 / 核空间 / 齐次解空间 </u>是同源的
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# 秩？
把 $\boldsymbol{x}$ 按列拆开，$A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+\dots+x_n\boldsymbol{a}_n$（$\boldsymbol{a}_i$ 是 $A$ 的列）。所以
$$\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n\}=A\text{ 的列空间}.$$
而列空间的维数就是列秩，$列秩 = 秩$：
>[!important] 秩的几何本质
>$$\boxed{\ r(A)=\dim\operatorname{Im}A\ }$$
>- **秩，就是映射出去的那块空间有几维。**
>- 行列式、子式、极大无关组都是手段，"输出空间的维数"才是它要量的东西。
>- 既然是子空间维度，很自然就有$$0\le r(A)\le n$$
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# 守恒律：秩-零化度定理
- 输入有 $n$ 维——
- $A$ 作用之后，一部分维度"保留了"（变成 $\operatorname{Im}A$）
- 一部分维度"被压缩了"，比如向平面投影（塌进 $\ker A$）
- 没有第三种下场。这就是守恒：
>[!theorem] 秩-零化度定理（Rank–Nullity）
>可以得到$\displaystyle \dim\operatorname{Im}A+\dim\ker A=\dim \mathbb{R}^n$，即：$$r(A)+\dim\ker A=n$$
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<p align="right">下面就能研究很多的结论到底是什么玩意了
</p>
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# 复合映射
最常遇到乘积 $AB$ 的秩。$AB$ 是先 $B$ 后 $A$ 的复合（$ABx=A(Bx)=Ay=z$）
$$\mathbb{R}^n\xrightarrow{\ B\ }\operatorname{Im}B\xrightarrow{\ A\ }\cdots$$
注意第二步的 $A$ **只作用在 $\operatorname{Im}B$ 这块地方**——$B$ 保留的映射维度，$A$ 也无从作用。
所以真正该考察的是 $A$ 限制在子空间 $\operatorname{Im}B$ 上的映射 $A_{\operatorname{Im}B}:\ \operatorname{Im}B\to \operatorname{Im}B$
- 它的像是 $A(\operatorname{Im}B)=\operatorname{Im}(AB)$；
- 很明显$A$作用在$子空间\operatorname{Im}B$像肯定比直接作用在$全空间\mathbb{R}^n$的结果小
- 即 $\operatorname{Im}(AB)\subseteq\operatorname{Im}A$
- 它的核是 $\{\boldsymbol{y}\in\operatorname{Im}B:A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\}=\operatorname{Im}B\cap\ker A$。
对这个限制映射用一次<u>秩-零化度定理</u>（它的"定义域"是 $\operatorname{Im}B$，维数 $r(B)$）：
>[!theorem] 复合秩公式
>$$\ r(AB)=r(B)-\dim\big(\operatorname{Im}B\cap\ker A\big)\ \tag{$\star$}$$
这个 $(\star)$ 是**等式**，比任何不等式都精确。
- 它的意思很直白：
- $B$ 映射出 $r(B)$ 维，过 $A$ 这道关时，凡是落进 $\ker A$ 的部分（即交集 $\operatorname{Im}B\cap\ker A$）当场被压缩为0，剩下的才是 $r(AB)$
- <u>乘一个矩阵会掉秩</u>，掉的就是"前一步的像撞进后一步的核"那一块。
# Sylvester 不等式与它的取等条件
$(\star)$ 里那个交集包含在 $\ker A$ 内部，所以它最多和 $\ker A$ 一样大：
$$\dim\big(\operatorname{Im}B\cap\ker A\big)\le\dim\ker A=n-r(A).$$
代回 $(\star)$ 立得：
>[!theorem] Sylvester 秩不等式
>$$r(AB)\ \ge\ r(A)+r(B)-n.$$
>取等条件：
>$$\begin{align}
>\iff&\operatorname{Im}B\cap\ker A=\ker A \\
>\iff & \ker A\subseteq\operatorname{Im}B
>\end{align}$$
即：**等号成立，就是说 $A$ 的零空间包含在 $B$ 的像里**
同理，还能得到乘积秩的上界：
- 根据 $\operatorname{Im}(AB) \subseteq\operatorname{Im}A$ 得到$$\begin{align}
\dim\operatorname{Im}(AB)&\le\dim\operatorname{Im}A\\
\implies \qquad r(AB)&\le r(A)
\end{align}$$
- 根据等式 $(\star)$ 得到$$\begin{align}
r(AB)&=r(B)-\dim(\operatorname{Im}B\cap\ker A) \\
&\le r(B)
\end{align}$$
所以：
>[!note] 另一个不等式结论
>
$$r(AB)\le\min\{r(A),\,r(B)\}.$$
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# 一个把全部工具串起来的例子
> [!example] 例
> 已知 $r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$（$A,B,C$ 均 $n$ 阶），判断下列哪些恒成立：
> ① $r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$
> ② $r(AB)+n=r(A)+r(B)$
> ③ $r(A)=r(B)=r(C)=n$
> ④ $r(AB)=r(BC)=n$
把 $ABC$ 当作 $A\cdot B\cdot C$，那就是先作用$C$再作用$B$得到$BC$，最后作用$A$
$$
r(ABC)=r(C)-\underbrace{\dim(\operatorname{Im}C\cap\ker B)}_{\ge 0}-\underbrace{\dim(\operatorname{Im}BC\cap\ker A)}_{\ge 0}.
$$
两个交集分别放进 $\ker B$、$\ker A$ 里放缩，得 $r(ABC)\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n$。题目条件恰好让这条 $\ge$ 变成 $=$，于是两处放缩**同时取等**：
$$\ker B\subseteq\operatorname{Im}C,\qquad \ker A\subseteq\operatorname{Im}(BC).$$
还有**恒成立**的包含关系 $\operatorname{Im}(BC)\subseteq\operatorname{Im}B$，把第二条收紧成 $\ker A\subseteq\operatorname{Im}B$——
这正是 $r(AB)$ 取到 Sylvester 下界的条件，于是 $r(AB)=r(A)+r(B)-n$，即 **②** 成立；代回原条件即得 **①** 成立。
而 ③④ 要的是"核为零"（满秩），比这里得到的"核被像装下"**严格更强**。
实际是题设条件的子集或者说局部Back
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