证明自共轭算子的剩余谱必然为空集 • Kylaan

问题#

证明在 Hilbert 空间 $H$ 中，自共轭算子 $T$ ( $T=T^*$ ) 的剩余谱 $\sigma_r(T)$ 为空集

对于 Hilbert 空间中的任何有界线性算子 $A$ ，其值域的交补等于其共轭算子的零空间，即： $R(A)^\perp = \text{ker}(A^*)$
证明： $A: H_1 \to H_2$ 是有界线性算子， $y \in H_2$ 。

任取 $y \in R(A)^\perp$ ： $\langle Ax, y \rangle = 0$ 对所有 $x \in H_1$ 成立。
Hilbert 共轭算子: $\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^*y \rangle$ ，上述等式等价于： $\langle x, A^*y \rangle = 0$ 对所有 $x \in H_1$ 成立。
则向量 $A^*y$ 与空间中的每一个向量 $x$ 都正交，那么这个向量本身必须是零向量。即： $A^*y = 0$ 。
根据零空间的定义： $A^*y = 0$ 意味着 $y$ 属于 $A^*$ 的零空间。即： $y \in \text{ker}(A^*)$ 。以上每一步都是充分必要的（ $\iff$ ），所以 $R(A)^\perp = \text{ker}(A^*)$ ，证毕。

自共轭算子的谱必为实数：若 $T = T^*$ ，则其谱集 $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$ 。

证明简述：对于任何 $x \in H$ $x \in H$ ， $\langle Tx, x \rangle = \langle x, Tx \rangle = \overline{\langle Tx, x \rangle}$ $⟨ T x, x ⟩ = ⟨ x, T x ⟩ = \overline{⟨ T x, x ⟩}$ ，说明内积 $\langle Tx, x \rangle$ $⟨ T x, x ⟩$ 总是实数。
- 若 $\lambda = \alpha + i\beta$ ( $\beta \neq 0$ )，可以证明 $\|(\lambda I - T)x\| \ge |\beta|\|x\|$ 。这说明 $\lambda I - T$ 是下有界的，从而推导出 $\lambda$ 必然在预解集 $\rho(T)$ 中。
- 因此，自共轭算子的谱点 $\lambda$ 必然满足 $\lambda = \bar{\lambda}$ 。

假设存在某个 $\lambda \in \sigma_r(T)$ 。根据定义， $\lambda$ 必须满足以下两个条件：

根据条件 (b)，因为值域的闭包不等于全空间 $H$ ，由正交分解定理可知，必存在非零向量 $y \perp R(\lambda I - T)$ ，即 $R(\lambda I - T)^\perp \neq \{0\}$ 。

利用引理1，令 $A = \lambda I - T$ ： $R(\lambda I - T)^\perp = \text{ker}((\lambda I - T)^*)$
计算共轭算子：由于 $(\lambda I - T)^* = \bar{\lambda} I - T^*$ ，且已知 $\lambda$ 是实数 ( $\bar{\lambda} = \lambda$ ) 以及 $T$ 是自共轭的 ( $T^* = T$ )，我们得到： $(\lambda I - T)^* = \lambda I - T$
因此，上面的等式变为： $R(\lambda I - T)^\perp = \text{ker}(\lambda I - T)$
由于我们已经推导出 $R(\lambda I - T)^\perp \neq \{0\}$ ，所以必然有： $\text{ker}(\lambda I - T) \neq \{0\}$
这意味着方程 $(\lambda I - T)x = 0$ 存在非零解。根据课本定义，这意味着 $\lambda$ 属于点谱 $\sigma_p(T)$ 。

实际上此时已经推出矛盾了：

$\lambda\in \sigma_{r}(T)$ 的同时 $\lambda\in \sigma_{p}(T)$ ，但是两个谱是不交的
$\text{ker}(\lambda I - T) \neq \{0\}$ 但 $\lambda I - T$ 是单射，即 $\text{ker}(\lambda I - T) = \{0\}$

从而一定不存在上述 $\lambda$ ，证毕。